Anteayer es un adverbio que significa ‘el día anterior a ayer’ o, lo que es lo mismo, ‘dos días antes de hoy’.
Esta forma que acabamos de mencionar es la más extendida y la más recomendable en casi todas las ocasiones. Podemos ilustrar su uso con este ejemplo:
(1) Anteayer fui víctima de una expoliación, de un robo, en pleno Madrid, a las cuatro de la tarde [Alejandro Sawa: Iluminaciones en la sombra].
El elemento ante- está relacionado con el adverbio antes. Por tanto, no debemos decir ni escribir antiayer. Esta variante incorrecta surge por un cruce con el prefijo anti-, que significa ‘contrario’. Tampoco es válida la forma antiyer.
La expresión antes de ayer también es correcta, aunque hay que reconocer que se hace un poco larga. Aquí tienes un ejemplo sacado de un texto periodístico:
(2) La duquesa de Alba cumplió antes de ayer 83 años [Abc (España), 30-3-2009].
Si lo que queremos es brevedad, habrá que optar por anteayer. No obstante, podemos mantener antes de ayer en reserva por si necesitamos variar un poco nuestro discurso o para introducir énfasis. Lo que no hay que hacer es escribirlo junto: antesdeayer.
Por último tenemos antier. En la lengua culta, solo es admisible en algunos países de América. El siguiente ejemplo está tomado de una novela del mexicano Eloy Urroz:
(3) Llegamos antier por la noche a Aix [Eloy Urroz: La mujer del novelista].
En el resto del mundo hispánico, esta forma se asocia con el habla rural o popular.
En resumen, la forma anteayer es la que nos va a servir casi siempre. Antes de ayer podemos guardarla en la recámara por si nos hace falta echarle mano de vez en cuando. Antier solamente es aceptable en ciertas variedades del español. La generalidad de los hablantes hará bien en olvidarse de ella.