La palabra carné es un préstamo del francés. Un carné es, en primer lugar, una tarjeta que sirve para acreditar la identidad de su propietario o para identificarle como miembro de alguna asociación o colectivo:
(1) Sancho se puso los guantes para examinar la foto del carné de identidad, modelo antiguo y caducado [César Pérez Gellida: Memento mori].
Menos frecuentemente, puede referirse a un cuadernito para apuntar cosas, como en el ejemplo (2):
(2) Pero también revólveres, jarrones, espejos y un carné de baile, una diminuta libreta usada por las damas en las galas para apuntar por orden las peticiones masculinas [El País (España), 2-2-2001].
Este nombre admite dos grafías: carné y carnet. Es preferible usar la primera, que es la forma castellanizada. Por lo que respecta a la lengua oral, la pronunciación sin te final no solo refleja la del original francés, sino que resulta más natural y relajada en nuestra lengua: [karné].
Ambas variantes añaden una ese para formar el plural:
(3) el carné > los carnés
(4) el carnet > los carnets
En la edición de 2014, el Diccionario de la lengua española recogió por fin el verbo carnetizar, que se emplea en algunos países de América para referirse al acto de proveer de carné a personas o grupos. También se admite el sustantivo carnetización.
La alternancia ortográfica que hemos mencionado no es exclusiva de la palabra carné. Está generalizada entre los galicismos que, en francés, terminan en -et: chalé/chalet, bidé/bidet, parqué/parquet, bufé/bufet. En todos los casos se prefiere la variante castellanizada.
En resumen, no se va a rasgar el cielo si escribes o dices carnet, pero lo que recomiendan las Academias de la Lengua y lo que te aconsejo yo modestamente es que te quedes con carné.