No es lo mismo mediodía (junto) que medio día (separado).
El mediodía (escrito en una palabra) es la parte central del día, el momento en que el sol alcanza su punto más elevado en el horizonte, por ejemplo:
(1) El lunes, al mediodía, el teniente lo mandó llamar [Alonso Cueto: Demonio del mediodía].
Mediodía es un sustantivo con todas las de la ley. Eso se nota en que incluso tiene su plural, que es mediodías:
(2) La mujer que cruzaba la calle tal vez estaría pensando con fuerza desmedida en su interés por llegar al otro lado de la acera como todos los mediodías a esta misma hora [Núria Amat: El país del alma].
Como vemos en (2), la terminación de plural -s se añade al final de la palabra porque eso es un compuesto plenamente fusionado. Tiene su origen en dos palabras independientes, pero estas han quedado soldadas y ahora forman una nueva unidad. No sería correcto formar un plural los mediosdías (con una ese intercalada).
Otra cosa diferente es medio día (escrito en dos palabras). Esta combinación simplemente se refiere a la mitad de un día. Si digo que voy a hacer una excursión de medio día, estoy dando a entender que voy a dedicar la mitad del día a una excursión (y la otra mitad, no). En cambio, una excursión de mediodía es la que tiene lugar en el centro del día (ni por la mañana ni por la tarde ni por la noche).
Mediodía y medio día no se escriben igual y no significan lo mismo. No los confundamos.