Hasta y asta son palabras homófonas, es decir, palabras que suenan igual. Sin embargo, resultan completamente diferentes por todo lo demás.
Hasta es una preposición que acumula diferentes significados, como es habitual con esta categoría léxica. Típicamente, utilizamos hasta para indicar el punto en que termina un recorrido en el espacio (1) o en el tiempo (2):
(1) El niño guio el caballo del viejo por las riendas hasta uno de los carros del ferrocarril [Carlos Fuentes: Gringo viejo].
(2) En realidad Edgard Allan Poe no se instaló en Nueva York hasta 1840 [Eduardo Mendoza: Nueva York].
Por su parte, asta (sin h) es un sustantivo que significa ‘cuerno’, como en este ejemplo:
(3) Si un aficionado es médico de profesión, raro será que deje este mundo sin escribir un tratado sobre las heridas por asta de toro [Felipe Benítez Reyes: Palco de sombra].
Es también uno de los nombres que recibe el palo de la bandera:
(4) Habían recorrido a pie calles y plazas engalanadas con crespones negros y banderas a media asta [Nieves Herrero: Lo que escondían sus ojos].
Asta es de género femenino, pero lo combinamos con el artículo el. Decimos el asta de toro, el asta de la bandera, etc. Se comporta en esto igual que otros sustantivos femeninos que también comienzan por a tónica, como el agua, el águila, el arma, etc.
Tanto la preposición hasta como el sustantivo asta presentan otros significados. Me he limitado a mostrar aquí los más comunes. Lo que pretendo es que sean representativos, no exhaustivos.
Para diferenciar su ortografía, puedes emplear una vieja mnemotecnia que se enseñaba antiguamente en las escuelas y que a mí siempre me hace sonreír:
Hasta con hache, preposición; asta sin hache, cuernos, señor.
Y hasta aquí ha llegado este artículo.